Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+A(5)=2A(4)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+I_2)\geq 0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-3X^2+mX-1$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Arătați că $\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ și $\displaystyle x_1x_2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x f(x)=1$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x^2-2x+3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{4}{e^3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x^2-2x+3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 3(e^2-1)$.