Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(2))=0$.

b) Arătaţi că $\displaystyle A(3)+2I_2=A(5)$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=0$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x\ast y=2x+2y-1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 2\ast1=5$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\ast(x+1)=5$.

c) Arătaţi că $\displaystyle x\ast x\le 4x^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-2\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1(x^2+1)f(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 2xf(x)dx=\ln 5$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 e^x\left(f(x)+e^x\left(x^2+1\right)f'(x)\right)dx=e(ae-a+1)$.