Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2x+1 & 1 \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(5)=2A(3)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A(1) = A(3)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+mX^2+2X-5$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle 1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e^x(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{2x f(x)}{x^2+1}dx = e(e^3-1)$.