Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle B+3I_{2}=2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot(x A+B)=2I_{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=2xy-3(x+y)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 0=-2$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ(-2x)\geq 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x-4}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^{2}}$, $\displaystyle x\in(4,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)+x$ este crescătoare.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+3)^{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+3)^{2}dx=\frac{98}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=3(a-\ln 3)$.