Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3x-3 \\ 1 & x-3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det((A(x)-A(0))\cdot A(1-x))=3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y-1+\sqrt{xy+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 8 = 7$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ x = \frac{3}{x}$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n \circ (n+2)) \circ (n+4) = \frac{n^2}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+2x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x^2+5x+4)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{e^{32}}{e^{x^2+4}} \le \frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x\in[-4,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^5 (3x^2-f(x))dx=2\ln3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}-1)$. Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (a+bg(x))g'(x)dx=4a$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.