Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x+4 \\ 2x & 4x-3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)-xA)=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)+B(x+2)=2A \cdot A$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+mX^2-2X-4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=6$, arătați că $\displaystyle f(1)=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$, știind că restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-2$ este egal cu $\displaystyle 8$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2}+ \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+6}{x^3}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x)-\ln x)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle 4f(x)-1\ge \ln 16$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+\frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = \frac{18}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 f(x) - (3x) dx = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a (f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = 9(a-2\ln 2)$.