Se consideră matricile $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & x-3 \\ x-3 & x-4 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(4) \cdot B(4)+I_2 = aB(4)$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = (x+y)(4-x-y)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 0 \ast 3 = -3$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 1 = 0$.

c) Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=(n+5)\ast (n-5)$ este natural.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x-2\ln(x+1)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle x^2-x \ge 2\ln(x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+3x+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x)dx=12$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3}dx=\frac{1}{4}$.

c) Arătaţi că aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3-1}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 3\left(1-\frac{1}{e}\right)$.