Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x-2 & 2-x \\ x-4 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(5))=12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (B(4)-B(2)) \cdot A = aA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x) - 4I_2)=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x(x-2) + y(y-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 3 = 6$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2 \circ x = x^2+2$.

c) Arătați că $\displaystyle x \circ y - 2 = (x-1)^2+(y-1)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+1)f(x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 f(x) \ln 2 dx = \ln 2$.

c) Determinați $\displaystyle m \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^m \frac{e^x f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx = 6$.