Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a-3 & 4a-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(B(1)\right) = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle B(2)-B(0) \cdot B(1) = 4A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle C(a) = B(a)-aA$ nu este inversabilă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy-2x-3y+6$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 2 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 6 = x$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (2 * x) \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^{2}+x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+3}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+1)f(x)\,dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1+2\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x}f(x)\,dx = e(e+a)$.