Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -2x \\ x & -e^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(6))=12$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(4) \cdot A(4)=a A(4)$.

c) Determinaţi perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle \det(A(m)+A(n))=0$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \ast y=xy+x+y-xy$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1 \ast 3 = 3$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 2 = -x^2$.

c) Determinaţi numărul întreg nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{2m} \ast m = m$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle x^2+x-2 \le 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3) dx=4$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{f(x)-x^3-x} dx=\frac{\ln 2}{3}$.

c) Determinaţi $\displaystyle a \in (-\infty,0)$, știind că $\displaystyle \int_a^0 e^{-x}(f'(x)-f(x))dx = 1-a^2e^{-a}$.