Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 6$ și $\displaystyle a_2 = 8$. Calculați $\displaystyle a_3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x - 9$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle A(m,3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 4^x = 2^{x^2 - 2}$.

La o competiție sportivă 40% dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, ştiind că la competiție au participat 80 de fete.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(1,3)$ şi $\displaystyle C(a,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care segmentele $\displaystyle AB$ şi $\displaystyle OC$ au acelaşi mijloc.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB = 8\sqrt{3}$ şi $\displaystyle BC = 16$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle AMC$ este echilateral, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $\displaystyle x * y = 3(xy - 2x - 2y) + 14$. Arătați că $\displaystyle 3 * 3 = 1$.

Demonstrați că $\displaystyle x * 2 = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle e = \frac{7}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 5$.

Arătați că dacă $\displaystyle x \ge 2$ și $\displaystyle y \ge 2$ sunt numere reale, atunci $\displaystyle x * y \ge 2$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ şi $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m * n = 2$ şi $\displaystyle n * m = 2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle X(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A = A$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a)) = 2a^2$.

Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(a) = X(a+1)A$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Demonstrați că $\displaystyle X(m) \cdot X(n) = X(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ şi $\displaystyle n$.

Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ şi $\displaystyle b$ sunt numere reale distincte pentru care $\displaystyle X(a) \cdot X(a) = X(b) \cdot X(b)$, atunci $\displaystyle a+b=0$.