Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}(2-\sqrt{3})-2\sqrt{3}+4=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x-4$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=a$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}=1$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$, numărul $\displaystyle n^2$ să aparțină mulțimii $\displaystyle A$.

Punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$, unde $\displaystyle A(3,4)$ și $\displaystyle B(7,-4)$. Arătați că $\displaystyle OA=OM$, unde $\displaystyle O$ este originea sistemului de coordonate $\displaystyle xOy$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=8$, $\displaystyle AC=3$ și punctul $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Arătați că perimetrul triunghiului $\displaystyle AMC$ este egal cu $\displaystyle 12$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2xy - 5(x+y)+15$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 \circ 2 = 3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = 1$.

3. Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 4 \le 1$.

5. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a-1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

2. Arătați că $\displaystyle 2A(3)-A(5)=I_2$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a+1))=2a^2$.

4. Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

5. Determinați inversa matricei $\displaystyle B=A(2) \cdot A(3)$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle \det(bA(a))=4$.