Se consideră progresia geometrică $\displaystyle (b_n)_{n ≥ 1}$ cu $\displaystyle b_1=4$ și $\displaystyle b_2=8$. Calculați $\displaystyle b_3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=7x+2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=9$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(2x+3)=\log_2(3x+1)$.

După o scumpire cu $\displaystyle 25\%$, prețul unui obiect a crescut cu $\displaystyle 50$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(8,4)$ și $\displaystyle C(4,0)$. Demonstrați că $\displaystyle BM=CM$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=12$ și $\displaystyle BC=13$. Arătați că perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$ este egal cu $\displaystyle 30$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 1 = 3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 2. Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 2$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 3. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 4. Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = x$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 5. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n+1) \circ (n+1)$ este număr natural.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$. 6. Determinați $\displaystyle x \in (1, +\infty)$ pentru care $\displaystyle (\log_2 x) \circ (\log_2 2) = \frac{7}{2}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(6)) = -4$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 2. Arătați că $\displaystyle A(3) \cdot A(1) = 19I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 3. Demonstrați că $\displaystyle A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 4. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = -20$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a^2) - A(a) = 2I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ a-6 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix}$.