Arătați că $\displaystyle 0,25:0,5+\frac{1}{2}=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4x$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n)\ge n^2-8$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\log_3(3x-1)=\log_3(36)$.

După o scumpire cu $\displaystyle 20\%$, prețul unui produs crește cu $\displaystyle 80$ de lei. Calculați prețul final al produsului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(1,m)$ și $\displaystyle C(3,6)$. Unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, astfel încât punctul $\displaystyle C$ să fie simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}\sin 45^\circ = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y = xy - x - y + 4$. Arătați că $\displaystyle 2\circ 1 = 2$.

Demonstrați că $\displaystyle x\circ y = (x-1)(y-1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Arătați că numărul $\displaystyle N = n \circ m \circ n$ este natural par, pentru orice numere naturale pare $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ x = 4$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 4^x \circ 8^x = 2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 3 \\ 3 & a+4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle B(0)-B(-1)=I_2$.

Arătați că $\displaystyle B(-1) \cdot B(-4)=9I_2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a))=a$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle C(n)=B(n)-A$ este inversabilă, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A = B(a)$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ge 0$, pentru care $\displaystyle B(a)-B(\sqrt{a})=O_2$.