a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))= -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)\cdot A(-x)-I_3) \le 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$, $\displaystyle B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X\cdot (A(0))^{-1} = B\cdot A(0)$, unde $\displaystyle (A(0))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=5$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ unde $\displaystyle f(x)=(2x^2+3x+2)/(x^2+4)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = (2e-3)/e$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (x^n-1)/(e^x f(x)) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \ln(2)/n \le I_n \le (e-1)/n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.