Fie matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+3x & 0 & 6x \\ 0 & 1 & 0 \\ -x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang } A(x) = 3$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x,a)$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(a) = A(a) \cdot A(x) = A(-4)$.

Pe mulțimea $\displaystyle G = (-2,2)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = \frac{4(x+y)}{4+xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$.

b) Se consideră funcția injectivă $\displaystyle f: G \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+x}{2-x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in G$.

c) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{30} = \frac{60}{31}$.

Fie funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1,2\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-7}{(x+1)^2(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

Fie funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \int_0^x (1-t^2)^n dt$, unde $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1-x^2}dx = \ln 2 - 1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției date este concavă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru orice $\displaystyle n$ număr natural se definește șirul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1-m & 2m & 0 \\ -m & 1+2m & 0 \\ 0 & 0 & 1+m \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) \cdot A(p) = A(0)$, atunci $\displaystyle (1+m)(1+n)(1+p)=1$.

Pe $\displaystyle M=(1, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \log_3 (3^{x+1} - 3^x - 3^{y+1} + 3^y + 12)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_3 ((3^x-3)(3^y-3)+3)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3+3}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$, $\displaystyle f(x) \ge 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x+2)}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)(x^2+1)dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle F\left(-\frac{1}{2023}\right) < F\left(-\frac{1}{2024}\right)$, unde $\displaystyle F:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.