Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & x-1 & x-1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1)=2A(x)$.

c) Arătați că, dacă matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă, atunci și matricea $\displaystyle A(-x)$ este inversabilă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy + \frac{2x+2y-1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 1 = \frac{7}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (\frac{1}{2}-x) \circ (\frac{1}{2}+x) = \frac{1}{2}x^2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x^3}{(x-1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (27, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-x-1)dx = \frac{e^2+1}{4}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{(f(x)-x \ln x)^2}$ este egal cu $\displaystyle \frac{7\pi}{24a}$.