Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=7$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(2) = M(x-1)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(M(n)) \le \det(M(2n))$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3 - 2X^2 - aX + 2a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(2)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g=X+1$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle |x_1| + |x_2| + |x_3| = 8$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}(2x-4)x^2-2x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 4$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x}{3x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{2}{3} \ln 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (3x^2+1)f(x)dx = 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{4\ln x}{f(x)}$ , axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ este egală cu $\displaystyle \frac{3e^2+5}{4}$.