Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) - A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X \cdot A(0) = I_3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [3, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - 3x - 3y + 12$, unde $\displaystyle x, y \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 5 = 3$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f : M \to M$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x-3}+3$. Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \circ f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)e^x - e^x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x^2+1)^2 dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{4}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{x^2+1}} dx$. Arătați că $\displaystyle I_{n+4} = \frac{2}{(n+2)(n+4)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.