Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $\displaystyle x+y=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 4xy - 3x - 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (-1)=4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x * a = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1+\frac{8}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-4)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(1-x) \ge f(1+x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^2+4x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2-2)e^x dx=4$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f'(x)}{f(x)}e^{f(x)-1}dx=63$.