Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 9I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 4x - 4y + 20$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-3) = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^x * 4^x = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2e^x$.

a) Determinați $\displaystyle \int f(x)e^x dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = e^x (-x^2 + x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [0, 3]$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A - aI_2) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 3X^2 + 2X$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X - 2$.

c) Calculați $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \ln x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\frac{1}{e}, \infty\right)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{1}{e}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 xf(x) dx = \frac{32}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) - \frac{1}{x} dx = e^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$, este egală cu $\displaystyle 4 + \ln a$.