Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=9$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) \cdot A(-1)-aI_2)=0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+3X^2+mX-4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-4$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle -1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2>5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\left[-\frac{3}{2}, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{x^2+x}$ și $\displaystyle g:\left[-\frac{3}{2}, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(2x^2+3x)f(x)+\frac{6}{2x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=x^2+x+\mathcal{C}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{2x+3}dx$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 2(e+1)$.