Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle B(8) - 3B(2) = 2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 2X^2 - 2X + m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=3$, arătați că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ verifică relația $\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{4x}{f(x)}dx = \ln 3$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x} dx = \frac{n}{e^4}$.