Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B - A = 3C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2X \cdot A = B + 2C$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = (x-4)(y-4) + 4$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 4 = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 6 = 6$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \ge \frac{n}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x f'(x)}{f''(x)} = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-9, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+9) f(x) dx = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{8x} f(x) dx = \frac{3}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx = 6(4 + a\pi)$.