Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -3 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 9$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(3) - B(4) = xB(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a)$ este inversa matricei $\displaystyle C = \frac{1}{9} A$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3 + X^2 + mX - 4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(2)=10$.

b) Pentru $\displaystyle m=-4$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \pi \left(\frac{91}{3} + \ln 4\right)$.