Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 5-x & 0 & 2x-8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4-x & 0 & 2x-7 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A((x-3)(y-3)+3)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle abc$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) \cdot A(c) = A(8)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 3xy - 6x - 6y + 14$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-1) = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x \le 5$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt[3]{1} * \sqrt[3]{2} * \dots * \sqrt[3]{2023}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x - 7$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^{x^2}} dx = e$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{e^{x^2} - f(x)}{x^2} dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n)) = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+(m-3)X^2-17X+(2m+7)$, cu $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-1$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$ arătați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_1^2+x_2^2+x_3^2=-62$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 27^x+9^x-17 \cdot 3^x+15=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4x+5}-x-2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că imaginea funcției $\displaystyle f$ este intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+\frac{1}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{4}{3}-\ln 2$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln(n^2+n)$.