Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1-a & a \\ -3a & 3a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(2))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) - I_2 = a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(2m) = A(1)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy-x-y+4$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 3 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 3x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle x \circ a = x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2+2x-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+4x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x \cdot f'(x)}=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x+4}(x^2+2x-2) \le 6$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{3}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{3}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x)$ este crescătoare.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{f(x)-\frac{3}{x}} dx = \frac{\pi}{12}$.