Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x+1 & 2x+1 \\ x-1 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(2))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(0)B(1)=aA$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=A \cdot (B(0)-3I_2)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+2X^2+mX-3$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=0$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)+f(x^2) \ge \frac{17}{3}$ pentru orice $\displaystyle x \in (1,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(x-1)^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)} dx = 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \ln(e^x) dx = \frac{e^2-5}{4}$.