Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3+a & 2-2a \\ 1-a & 1+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(0)(A(a) - A(0)) = aI_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2) - A(a)) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2 - 4xy + 3y^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 2 = 12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = -1$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 5 + \frac{4x-4}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $\displaystyle x,y \in [1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 4\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x f(x) dx = 3e^4 + 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) dx = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$.