Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuaţii $\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=4 \ x+ay-z=4 \ 2x-ay+4z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluţie unică.

c) Arătaţi că, dacă sistemul are soluţia unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-3X^2+2X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=6$, arătaţi că $\displaystyle f(-1)=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g=X^2+2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+x\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}(3f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle g:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=e$ are aria strict mai mare decât $\displaystyle 1$.