5p 1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{2}(2 \sqrt{2}- \sqrt{6})+2 \sqrt{3}=4$.

5p 2. Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+1$. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)$ este media geometrică a numerelor $\displaystyle f(0)$ și $\displaystyle f(4)$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x+1}=18$.

5p 4. Prețul unui produs este 300 de lei. După o scumpire cu $\displaystyle p \%$ prețul produsului devine 360 de lei. Calculați $\displaystyle p$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2), B(1,1)$ și $\displaystyle C(3,m)$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle C$ aparține dreptei $\displaystyle AB$.

5p 6. În triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, $\displaystyle AB=6$ și măsura unghiului $\displaystyle C$ este egală cu $\displaystyle 60^{\circ}$. Arătați că $\displaystyle BC=4 \sqrt{3}$.

5p 1. Arătați că $\displaystyle 1 \cdot (-3)+7=4$.

5p 2. Arătați că $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y-6$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația $\displaystyle \sqrt{x}=6$.

5p 4. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle 2 < n < (2n)+1$.

5p 5. Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{3}(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5p 6. Calculați $\displaystyle \sqrt{1} \cdot \sqrt{2} \cdot \dots \cdot \sqrt{2023}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B(a)= \begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}, I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este un număr real. Arătați că $\displaystyle A \cdot A=5I_2$.

5p 2. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a)+A)=0$.

5p 3. Demonstrați că $\displaystyle B(q-1)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $\displaystyle q$.

5p 4. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(a) \cdot B(a) = B \left( \frac{a^2}{4} \right)$.

5p 5. Determinați numerele reale pozitive $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(\log_2{x}) \cdot B(\log_4{x}) = I_2$.

5p 6. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot B(0)=A$.