Să se determine primul termen al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, ştiind că $\displaystyle a_3 = 10$ şi $\displaystyle a_5 = 16$.

Determinaţi valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care rădăcinile $\displaystyle x_1$ şi $\displaystyle x_2$ ale ecuaţiei $\displaystyle x^2 - mx + m - 1 = 0$ verifică relaţia $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 2$.

Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ care verifică ecuaţia $\displaystyle \log_2(x+3) = 3$.

Determinaţi probabilitatea ca, alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie divizibil cu $\displaystyle 3$.

Se dau vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = a\vec{i} + 2\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{v_2} = 8\vec{i} + a\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinaţi $\displaystyle a$ pentru care vectorii sunt coliniari.

Se dă triunghiul $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB = 4$ şi $\displaystyle AC = 8$. Calculaţi lungimea laturii $\displaystyle BC$ dacă $\displaystyle \hat{A} = 60^\circ$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 6x - 6y + 42$.1. Arătaţi că $\displaystyle 4 \ast 5 = 8$.

2. Demonstraţi că $\displaystyle x \ast y = (x-6)(y-6) + 6$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

3. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

4. Arătaţi că $\displaystyle (x+2) \ast (x-5) \ge 5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5. Calculaţi $\displaystyle 1 \ast 2 \ast 3 \ast \ldots \ast 2023$.

6. Determinaţi perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ ştiind că $\displaystyle m \ast n = 13$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.1. Arătaţi că $\displaystyle \det A = 0$.

2. Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = aA$.

3. Arătaţi că $\displaystyle \det(A+xI_2) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătaţi că $\displaystyle (I_2+aA)(I_2+bA) = I_2+(a+b+2ab)A$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ şi $\displaystyle b$.

5. Determinaţi numerele reale $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle X = I_2 + mA$ este inversabilă.

6. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle xA+yI_2 = \begin{pmatrix} 11 & 3 \\ -9 & -1 \end{pmatrix}$.

Determinați rația progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$ și $\displaystyle a_2 + a_4 = 2$.

Arătați că $\displaystyle f(-1) = -4$ pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+m$.