1. Arătați că $\displaystyle (\sqrt{50} - 5(\sqrt{2}-1)) = 5$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + a$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Arătați că $\displaystyle f(1) = f(2)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x+2) = \log_3(4-x)$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $\displaystyle 8$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3, a)$, $\displaystyle B(1, 0)$ și $\displaystyle C(5, 2)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

6. Calculați $\displaystyle \sin 30^\circ + \sqrt{2}\cos 45^\circ + \cos 60^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 3(x-y) + xy$. Arătați că $\displaystyle 3*0 = 3$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

Arătați că $\displaystyle \frac{7}{3}$ este simetricul lui $\displaystyle \frac{2}{3}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$” .

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 9^x + 3^x = 3$.

Calculați $\displaystyle 3 * 4 * 5 * \dots * 2023$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Arătați că $\displaystyle \det(B(0)) = -1$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 5I_2$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a)+A) = 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(a) \cdot B(-2) = I_2$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle B(a-1)$ este inversabilă, pentru orice număr rațional $\displaystyle a$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle X \cdot B(0) = A$.