1Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicaritmetică Arătați că (25)−1+12=5\displaystyle (\frac{2}{5})^{-1} + \frac{1}{2} = 5(52)−1+21=5. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicecuațiifuncții Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1f(x)=x+1. Determinați numărul real a\displaystyle aa pentru care f(a)\displaystyle f(a)f(a) este media aritmetică a numerelor f(1)\displaystyle f(1)f(1) și f(5)\displaystyle f(5)f(5). ▶Arată rezolvarea
3Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicecuații Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1+3=5\displaystyle 2\sqrt{x-1}+3=52x−1+3=5. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicprobabilități Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,...,2022}\displaystyle M=\{1,2,3,...,2022\}M={1,2,3,...,2022}, acesta să fie multiplu de 2\displaystyle 22. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicgeometrie analitică În reperul cartezian xOy\displaystyle xOyxOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3)A(1,3), B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1)B(−2,−1) și C(1,−1)\displaystyle C(1,-1)C(1,−1). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABCABC este dreptunghic. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicgeometrie sinteticătrigonometrie Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABCABC este 5\displaystyle 55, iar BC=10\displaystyle BC=10BC=10. Calculați sinA\displaystyle \sin AsinA. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicaritmetică Arătați că (−6)⋅(−5)−6=24\displaystyle (-6) \cdot (-5) - 6 = 24(−6)⋅(−5)−6=24. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogiclegi de compoziție Demonstrați că x∘y=(x+8)(y+8)−8\displaystyle x \circ y = (x+8)(y+8)-8x∘y=(x+8)(y+8)−8, pentru orice numere reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogiclegi de compoziție Arătați că e=−7\displaystyle e=-7e=−7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ∘”. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicinecuațiilegi de compoziție Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x∘(x+2)≤−8\displaystyle x \circ (x+2) \le -8x∘(x+2)≤−8. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x∘(−7)=16\displaystyle 2^x \circ (-7)=162x∘(−7)=16. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numărul real a\displaystyle aa pentru care 2a∘(−1)=a∘(a−2)\displaystyle 2a \circ (-1) = a \circ (a-2)2a∘(−1)=a∘(a−2). ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțimatrici Arătați că detA=−6\displaystyle \det A = -6detA=−6. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatrici Demonstrați că M(x)=(13x2xx+1)\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 3x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}M(x)=(12x3xx+1), pentru orice număr real x\displaystyle xx. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatrici Arătați că suma elementelor matricei B\displaystyle BB este pătratul unui număr natural, unde B=(−1)⋅M(1)⋅M(1)\displaystyle B=(-1) \cdot M(1) \cdot M(1)B=(−1)⋅M(1)⋅M(1). ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțiecuațiimatrici Determinați numărul real x\displaystyle xx pentru care det(M(x))=0\displaystyle \det(M(x))=0det(M(x))=0. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțimatrici Arătați că matricea C\displaystyle CC este inversabilă, unde C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4)\displaystyle C=M(1)-M(2)+M(3)-M(4)C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4). ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatricisisteme de ecuații liniare Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b)(a,b) de numere naturale pentru care aM(b)+bM(a)=I2\displaystyle aM(b)+bM(a)=I_2aM(b)+bM(a)=I2. ▶Arată rezolvarea