Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=2 \\ ax+2y+z=2 \\ 2x+2y+z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi și $\displaystyle x_0 > y_0 > z_0$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = \frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle x*(-x) \ge -x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere din mulțimea $\displaystyle M$ pentru care $\displaystyle a*b=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1-\ln(e^x+x^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x+x^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de coordonate $\displaystyle (a, f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x+3} dx = \frac{13}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^2 \frac{f(x)}{x^2+1} dx = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx = \frac{\pi}{2}$.