Se consideră matricea $\displaystyle A(x, y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x+3 & y+3 & 4 \\ x^2-x+1 & y^2-y+1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle A(1, 1)^2 = 6A(1, 1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x, y)) = (x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Aflați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care ecuația matriceală $\displaystyle A(2^m, 3^n) X = 2I_3$ are soluție unică.

Pe mulțimea numerelor complexe se consideră legea de compoziție asociativă $\displaystyle z_1 * z_2 = (z_1 - i)(z_2 - i) + i$.

a) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție este $\displaystyle 2-i$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle z = 4+i$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle H = \{z \in \mathbb{C} \mid \left| z-i \right| = 1\}$ este parte stabilă a mulțimii numerelor complexe în raport cu legea de compoziție dată.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

a) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3^{\sqrt{5}} < 5^{\sqrt{3}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\int_{1}^{n+1} f(x)dx}{n} = 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 4-x & 1 & 4 \\ 1 & 2-x & 2 \\ 2 & 4 & 1-x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -21$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang}(A(x)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(\lg x)) = 0$, $\displaystyle x > 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 3x - 3y + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a * a * a = a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x * 9^x * 27^x = 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:[1, \infty) \to [1, \infty)$, $\displaystyle f(x) = x \cdot (1 + \ln x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2+\ln x$, $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

c) Calculați următoarea limită $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \cdot \ln x}{x}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f_n: [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \ldots \cdot \cos 2^{n-1}x$ și $\displaystyle I_n = \int_0^{\pi/2} f_n(x)dx$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_2$ este convexă pe $\displaystyle [0, \frac{\pi}{8}]$.

c) Să se determine primitiva funcției $\displaystyle f_{2023}$ care trece prin punctul $\displaystyle A(0,0)$.