Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a-1 & 2a & -1 \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x^2y^2-4(x+y)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 1=-3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \leq 2x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m \leq n$, pentru care $\displaystyle m \circ n=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{28x}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+8}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^3+8)f(x)dx=8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 \frac{1}{x}f(x)dx=4\ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t)dt \right)$.