Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ -1 & -x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = (x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(3) = A(x) \cdot A(y)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3MX+M$, unde $\displaystyle M$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle M=2$, arătați că $\displaystyle f(1)=3$.

b) Pentru $\displaystyle M=0$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul rațional $\displaystyle M$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ are rădăcina $\displaystyle x_1=1+\sqrt{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{3e^x}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = +\infty$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (e, 3)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{e-1} \frac{f(x)-6x}{x+1}dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x^2)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle a\pi + \ln 2$.