Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+2z=2 \\ x-y+az=4 \\ ax+(a+1)y-2z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+z_0=-2$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy + (2^x-2)(2^y-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 3 = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ (-x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+3 \ln \frac{x+3}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați în $\displaystyle (1,\infty)$ că $\displaystyle \frac{x+3}{3(x-1)} \ge 1-\frac{x}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+2x)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)e^x dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+2} dx = \frac{e-2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x f(t) dt \right) = 1$.