Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (3x+ay-2z=b \\ 2x+y-z=1 \\ (a+2)x-2y+z=-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^4+aX^3+bX^2-8$, unde $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=-15$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2-1$ este egal cu $\displaystyle 15X$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-x-\frac{4}{x^2+1}\operatorname{arctg}x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x-\frac{4}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\operatorname{tg}(x)$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-m}^m \frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $\displaystyle m\in(0,+\infty)$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{e^{ax}-1} \int_0^x f(t)dt \right)=1$.