Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(4)+A(-2)=aA(2)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A(1) = A(0)$, unde $\displaystyle m$ este număr întreg, atunci matricea $\displaystyle X$ are toate elementele numere întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = (x+y)(x-1)(y-1)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*1=1$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(n-1) \geq n^2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+3}{x^2} + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-x-6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \leq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{x^2-x-6}{x^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + e^x + \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - e^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(2f(x)-1)dx = \frac{5}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x)-x) \cdot f(x)dx = \frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.