Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2-x & x \\ x & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B(2) = 2B(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x) - B(1) - (x+1)A) = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x + y - 6xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 1 = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \circ (3-m) < 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x^2}{x^3+4} = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -32 \le 2x^3 - 3x^2 + \frac{1}{16}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x(x^2 - 3e^x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+3xe^x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)-x}{f(x)-x^2}dx = a \ln\left(e+\frac{1}{2}\right)$.