Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} -2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A+2B=3C$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B \cdot C + x(A-C)) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x(y+2)+y(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*1=11$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*0=4$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x*\frac{1}{x} > 7$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5x^2-10x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=10x^2(x+2x-3)$, x real.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^3+5x^2-10x+3 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+1+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) dx = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)-6x dx = 2 \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x+1} dx = \frac{a(e^2-1)}{2}$.