Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} 0 & a-2 \\ 1 & 3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A + A = 2B(a)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a) \cdot A + B(a)) = 4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=n\circ\frac{1}{n}$ este întreg.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(e^x-1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\le f(x^2)$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+4)f(x)dx=6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}f(x)dx=\ln 2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.