Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = xI_2 + A$, unde $\displaystyle x$ este număr real și $\displaystyle x^2 = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(3) \cdot B(5) = B(x)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi pentru care matricea $\displaystyle B(m) + B(n)$ nu este inversabilă.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - \sqrt{(x-1)(y-1)}$.

a) Arătați că $\displaystyle e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$ ".

b) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 5 - \sqrt{4} = 8$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (nx) \ast y \ge x(n \ast y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$ și orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{e^x} + \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6(1-x^2)}{x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3}}$ pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1, f(1))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x^3+3} \ge \frac{\sqrt{x}}{x^2+5}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x + 2x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)dx = e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx = -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 F(x)f'(x)dx = \frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(0)=0$.