Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(2) - A(-1)=2I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) + xA(x) = 3I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 4(xy-x-y)+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 3$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle a \circ 3 = 4$, atunci $\displaystyle a=(-a)=0$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \circ 1) \circ (x-1) \le 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+x+\frac{5}{x}-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(4x+5)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+5 \ln x}{x-2} = -2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^2+x+\frac{5}{x} \ge 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)}{e^x} dx = 2$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, 1)$ pentru care $\displaystyle \int_a^0 \frac{f(x)}{e^x(3-2x)} dx = \frac{2}{9}$.