Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x & 3-x \\ 2-x & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle B(0) - B(x) = xA$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle C(a)=B(a) \cdot B(1) - B(a+1)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $\displaystyle a$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = (2x-1)(2y-1)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 2$.

c) Determinați numărul întreg nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m * \left( 1 + \frac{1}{m} \right) = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4x^2+1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = 2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(e^x+2x^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x+2x^2} dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x^3)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{e^2-e}{2}+a$.