Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 3$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X - A(1) = A(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x \ast y = xy - \sqrt{2}(x+y) + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \ast 0 = \sqrt{2}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-\sqrt{2}) \ast (x+\sqrt{2}) = x$.

c) Determinați numerele raționale $\displaystyle a$ al căror simetric în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este număr rațional.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\ln(x^2+1)\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} + x^2\left(\frac{2}{x^2+1}\right)$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(n, f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{5}x+1$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2\ln x}{x^3}$ și funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, o primitivă a lui $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right) dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt[4]{5}} x\cdot f(x^2+3) dx = -\frac{5\ln 2}{128}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_e^{e^2} x \cdot F(x) dx = \frac{a^2-1}{2}$.