1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle a_1 = 3$ și $\displaystyle r = 2$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (1-2a)x+1$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(1) = f(-1)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 1+\log_2(2x+1)= \log_2 4$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(-3,2)$ și $\displaystyle C(5,2)$. Determinați lungimea medianei triunghiului $\displaystyle ABC$ construită din vârful $\displaystyle A$.

6. Calculați $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{(x-1)(y-1)}{3} + 1$.

1. Arătați că $\displaystyle 3*4=1$.

2. Verificați dacă $\displaystyle e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a*7=5$.

4. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(1+x) \leq 1$.

5. Determinați cel mai mare număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n*n \leq 1$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n= -1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A)=-7$.

2. Arătați că $\displaystyle \det(A+xI_2) \geq -7$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = aI_2$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(mI_2-A)=\det(A+I_2)$.

5. Se consideră matricea $\displaystyle M = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot M = M \cdot A$. Arătați că $\displaystyle y=0$.

6. Determinați pentru câte valori întregi ale lui $\displaystyle a$ obținem $\displaystyle \det((aA)^2)=-28$.