Arătați că $\displaystyle (\sqrt{3}+1)^2 = 4\sqrt{3}$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x+1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = -2x+5$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x+2} = \frac{1}{3}$.

Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,2)$, $\displaystyle B(5,2)$ și $\displaystyle C(6,6)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle B$ la mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=9$, $\displaystyle AC=12$ și $\displaystyle BC=15$. Arătați că $\displaystyle \sin B + \cos C = \frac{7}{5}$.

Arătați că $\displaystyle 4*2 = 0$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = \frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x = -2$.

Arătați că $\displaystyle e=-2$ este elementul neutru al legii de compoziție ", ".

Arătați că $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{x} = 1$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x \leq 1$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A(x,y) \cdot A(x,y) = 2I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

Arătați că $\displaystyle A(2n, 2n+1) = 2n-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Arătați că $\displaystyle A(2x,0) + A(0,2x)) = 2A(x,x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, astfel încât $\displaystyle A(x,y) \cdot B = B \cdot A(x,y)$, unde $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

Determinați numărul real strict pozitiv $\displaystyle x$, știind că suma elementelor matricei $\displaystyle A(\log_3 x, 1)$ este egală cu 5.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A(x,y) - A(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.